Question

設有兩個命題p，q，其中p：對于任意的x∈R，不等式ax²+2x+1＞0恒成立；命題q：f（x）=（4a-3）^x在R上為減函數(shù)，如果兩個命題中有且僅有一個是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質，我們可得不等式ax²+2x+1＞0恒成立時，a的取值范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性我們可得f（x）=（4a-3）^x在R上為減函數(shù)時，a的取值范圍，進而根據(jù)兩個命題中有且只有一個是真命題，分p為真命題，q為假命題，和p為假命題，q為真命題兩種情況討論可得實數(shù)a的取值范圍

解答： 解：若命題p：對于任意的x∈R，不等式ax²+2x+1＞0恒成立
當a=0時，2x+1＞0不恒成立；
當

a＞0 △=4-4a＜0

時?a＞1．
所以命題p為真命題?a＞1．
命題q為真命題?0＜4a-3＜1?

3

4

＜a＜1．
∵兩個命題中有且只有一個是真命題
若p為真命題，q為假命題，a＞1；
若p為假命題，q為真命題，

3

4

＜a＜1；
∴a的取值范圍是（

3

4

，1）∪（1，+∞）

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷，二次函數(shù)的圖象和性質及指數(shù)函數(shù)的圖象和性質，其中根據(jù)函數(shù)性質分析出兩個命題對應的a的取值范圍是解答的關鍵．