Question

已知圓C：x²+y²+4x-2y+a=0，直線l：x-y-3=0，點O為坐標原點．
（1）求過圓C的圓心且與直線l垂直的直線m的方程；
（2）若直線l與圓C相交于M、N兩點，且OM⊥ON，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)題意確定圓心坐標，和直線斜率，由點斜式方程可得直線m的方程；
（2）由OM⊥ON得

OM

•

ON

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，聯(lián)立直線與圓的方程，利用韋達定理得出x₁+x₂=2，x1x2=

1

2

(15+a)，代入上式即可得解．

解答： 解：（1）由題意得，C（-2，1），k_l=1，
由m⊥l得，k_m•k_l=-1，
∴k_m=-1．
∵直線過圓心（-2，1），
∴直線m的方程為x+y+1=0．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
由OM⊥ON得

OM

•

ON

=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0…①
由

x2+y2+4x-2y+a=0 x-y-3=0

得，
2x²-4x+15+a=0．
∴x₁+x₂=2，x1x2=

1

2

(15+a)…②
∵y=x-3，
∴y₁=x₁-3，y₂=x₂-3，
∴y1y2=

1

2

a+

21

2

…③，
將②③代入①得a+18=0
即a=-18

點評：本題考查直線的點斜式方程，以及直線與圓的位置關(guān)系的靈活應(yīng)用．屬于中檔題．