Question

10．過拋物線y²=2x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=$\frac{25}{12}$，|AF|＜|BF|，則|AF|為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{5}{6}$
• C． 2
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 通過拋物線方程可知F（$\frac{1}{2}$，0），通過設(shè)直線方程為x=my+$\frac{1}{2}$，并與拋物線方程聯(lián)立，利用|AB|=$\frac{25}{12}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$計(jì)算可知m=±$\frac{\sqrt{6}}{12}$，通過不妨設(shè)直線方程為x=$\frac{\sqrt{6}}{12}$y+$\frac{1}{2}$，利用|AF|＜|BF|確定A（$\frac{1}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），進(jìn)而利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意可知F（$\frac{1}{2}$，0），直線方程為：x=my+$\frac{1}{2}$，
聯(lián)立直線與拋物線方程，消去x整理得：y²-2my-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=2m，y₁y₂=-1，
∴|AB|=$\frac{25}{12}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{4{m}^{2}+4}$
=2（1+m²），
解得：m=±$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
不妨設(shè)直線方程為：x=$\frac{\sqrt{6}}{12}$y+$\frac{1}{2}$，
則y₁+y₂=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，y₁y₂=-1，
解得：y₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，或y₁=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
又∵|AF|＜|BF|，
∴y₁=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，x₁=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$，
∴|AF|=$\sqrt{（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）^{2}+（0+\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{5}{6}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．