Question

5．已知圓O，點(diǎn)A為圓O外一點(diǎn)，BC為圓O的直徑，過(guò)A作圓O的割線交圓O于D，E兩點(diǎn)，其滿足BD=DE．
（1）求證：∠DOB=∠ECA；
（2）若AB=BO，BD=1，求四邊形BDEC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接DC，由圓周角定理和圓周角、弧、弦間的關(guān)系進(jìn)行推理；
（2）欲求四邊形BDEC的周長(zhǎng)，只需得到圓的半徑即可．根據(jù)（1）的結(jié)論得到OD∥EC，由平行線截線段成比例得到半徑的長(zhǎng)度．

解答 （1）證明：如圖，連接DC．
∵BD=DE，
∴∠BCD=∠ECD，即∠ECA=2∠BCD．
又∵∠DOB=2∠BCD，
∴∠DOB=∠ECA；
（2）解：由（1）知，∠DOB=∠ECA，則OD∥EC，
∵AB=BO，BD=DE=1，OB=OC=OD，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{OD}{EC}$，則$\frac{AD}{DE}$=$\frac{2OB}{OB}$．
∴$\frac{AD}{1}$=2，
則AD=2，AE=3，EC=$\frac{3}{2}$OD，
又AD•AE=AB•AC，即2×3=OB•3OB，
∴OB=$\sqrt{2}$，
∴四邊形BDEC的周長(zhǎng)是：BD+DE+EC+BC=2+$\frac{3}{2}$OD+OB=2+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理和相交弦定理．一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．