Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{1+a{x^2}}}{x+b}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），并且g（x）=xf（x）是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）用定義證明：函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)g（-x）=g（x）恒成立得出b的值，將（1，3）代入f（x）解出a；
（2）設(shè)x₂＞x₁＞1，化簡g（x₂）-g（x₁）并判斷符號得出g（x₂）與g（x₁）的大小關(guān)系．

解答 解：（1）∵函數(shù)$g（x）=xf（x）=\frac{{x+a{x^3}}}{x+b}$是偶函數(shù)，則g（-x）=g（x）．
∴$\frac{{-x-a{x^3}}}{-x+b}$=$\frac{{x+a{x^3}}}{x+b}$恒成立，即x-b=x+b恒成立，
∴b=0．
又函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），
∴f（1）=3，即1+a=3，
∴a=2．
（2）由（1）知：g（x）=xf（x）=2x²+1．
設(shè)x₂＞x₁＞1，
則$g（{x_2}）-g（{x_1}）=2x_2^2+1-2x_1^2-1$=2（x₂-x₁）（x₂+x₁）．
∵x₂＞x₁＞1，∴（x₂-x₁）（x₂+x₁）＞0
∴g（x₂）＞g（x₁），
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷與證明，使用定義判斷非常重要的解題方法．屬于基礎(chǔ)題．