Question

6．已知A、B、C是△ABC的內(nèi)角，向量$\overrightarrow{m}$=（-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cosA，sinA），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1．
（1）求角A的大�。�
（2）若$\frac{1+sin2B}{co{s}^{2}B-si{n}^{2}B}$=-2，求tanC．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線定理、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）由已知，利用平方差（和）公式化簡(jiǎn)，整理可求得tanB的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)所求，由特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）因?yàn)?\overrightarrow{m}$=（-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cosA，sinA），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1，
所以-cosA+$\sqrt{3}$sinA=1，即$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
所以2sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
因?yàn)锳∈（0，π），
所以A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
所以A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
故A=$\frac{π}{3}$…（6分）
（2）∵$\frac{1+sin2B}{co{s}^{2}B-si{n}^{2}B}$=-2⇒$\frac{（cosB+sinB）^{2}}{co{s}^{2}B-si{n}^{2}B}$=-2⇒$\frac{cosB+sinB}{cosB-sinB}=-2$，
⇒cosB+sinB=-2cosB+2sinB⇒3cosB=sinB⇒tanB=3，
∴tanC=tan（π-（A+B））=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$
=-$\frac{\sqrt{3}+3}{1-3\sqrt{3}}$=$\frac{6+5\sqrt{3}}{13}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線定理、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、三角形的內(nèi)角和定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．