Question

15．已知一條直線經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），且與圓x²+y²=10相交，截得的弦長為2$\sqrt{5}$，求這條直線的方程．

Answer 1

分析 分兩種情況進(jìn)行討論，斜率存在和不存在；當(dāng)斜率不存在時直線方程為x=2，進(jìn)行驗(yàn)證可得結(jié)論，過點(diǎn)P（2，1）的直線l，當(dāng)斜率存在時，直線方程被圓x²+y²=10截得的弦長要為2 $\sqrt{5}$，利用垂徑定理，只要滿足圓心（0，0）到直線的距離為 $\sqrt{5}$即可，從而求出斜率k．

解答 解：過點(diǎn)P（2，1）的直線l，當(dāng)斜率不存在時直線方程為x=2，
這時驗(yàn)證，被圓x²+y²=10截得的弦長顯然不為為2$\sqrt{5}$．這不合題意．
過點(diǎn)P（2，1）的直線l，當(dāng)斜率存在時，直線方程為y=k（x-2）+1，
這時，被圓x²+y²=10截得的弦長要為2$\sqrt{5}$，只要滿足圓心（0，0）到直線的距離為$\sqrt{5}$即可．
即有等式為$\frac{|-2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
解得k=-2，
故所求的直線方程為：2x+y-5=0．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，解決直線與圓的問題，要充分利用圓的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合加以解決．