Question

19．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知$\frac{sinA-sinB}{sinC}$=$\frac{b+c}{a+b}$，
（1）求角A的大��；
（2）求4sinB•cosC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得：$\frac{sinA-sinB}{sinC}$=$\frac{a-b}{c}$=$\frac{b+c}{a+b}$，整理可得：c²+a²-b²=ac，根據(jù)余弦定理可得：cosB=-$\frac{1}{2}$，根據(jù)0＜B＜π可得B的值．
（2）運(yùn)用內(nèi)角和定理，再由二倍角公式和兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到范圍．

解答 解：（1）△ABC中，正弦定理可得：$\frac{sinA-sinB}{sinC}$=$\frac{a-b}{c}$，又$\frac{sinA-sinB}{sinC}$=$\frac{b+c}{a+b}$，
∴$\frac{a-b}{c}$=$\frac{b+c}{a+b}$，整理可得：c²+b²-a²=-bc，
∴利用余弦定理可得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∴由0＜A＜π可得：A=$\frac{2π}{3}$．
（2）由于B+C=$\frac{π}{3}$，則4sinBcosC=4sinBcos（$\frac{π}{3}$-B）
=4sinB（$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB），
=sin2B+$\sqrt{3}$（1-cos2B），
=2sin（2B-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，
由A=$\frac{2π}{3}$，可知 0＜B＜$\frac{π}{3}$，
所以-$\frac{π}{3}$＜2B-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$，
故-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（2B-$\frac{π}{3}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則0＜2sin（2B-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$＜2$\sqrt{3}$，
所以：4sinB•cosC∈（0，2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．