Question

11．設各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且存在正數(shù)t，使對所有的正整數(shù)n，都有$\sqrt{t{S}_{n}}$=$\frac{t+{a}_{n}}{2}$成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）如果$\frac{\sqrt{{S}_{n}}}{{a}_{n}}$＜t對一切n∈N^*恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡可得S_n=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²，從而分類討論求得a₁=t，a_n-a_n-1=2t；從而求其通項公式；（2）可化簡S_n=tn²，從而可得$\frac{\sqrt{{S}_{n}}}{{a}_{n}}$=$\frac{n\sqrt{t}}{（2n-1）t}$=$\frac{\sqrt{t}}{（2-\frac{1}{n}）t}$，從而判斷函數(shù)f（n）=$\frac{\sqrt{t}}{（2-\frac{1}{n}）t}$的單調(diào)性及求極限，從而化為最值問題．

解答 解：（1）由$\sqrt{t{S}_{n}}$=$\frac{t+{a}_{n}}{2}$得，S_n=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²；
當n=1時，S₁=$\frac{1}{4t}$（t+a₁）²；
解得，a₁=t；
當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²-$\frac{1}{4t}$（t+a_n-1）得，
a_n-a_n-1=2t；
∴{a_n}是首項為t，公差為2t的等差數(shù)列，故a_n=（2n-1）t；
（2）將a_n=（2n-1）t代入S_n=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²得，
S_n=tn²，
故$\frac{\sqrt{{S}_{n}}}{{a}_{n}}$=$\frac{n\sqrt{t}}{（2n-1）t}$=$\frac{\sqrt{t}}{（2-\frac{1}{n}）t}$，
易知f（n）=$\frac{\sqrt{t}}{（2-\frac{1}{n}）t}$在N^*上是減函數(shù)，
而且$\underset{lim}{n→∞}$f（n）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\sqrt{t}}{（2-\frac{1}{n}）t}$=$\frac{\sqrt{t}}{2t}$，
故只需使$\frac{\sqrt{t}}{2t}$≤t，
故t≥$\frac{\root{3}{2}}{2}$．

點評 本題考查了學生的化簡運算能力及轉(zhuǎn)化思想的應用，同時考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應用．