Question

4．若對于函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的任意x都有f（a+x）=2b-f（a-x），則y=f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱．

Answer 1

分析 根據(jù)圖象的對稱即可得到y(tǒng)=f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱，并證明成立即可．

解答 解：函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=2b-f（a-x），
設(shè)（m，n）是函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點，該點關(guān)于點（a，b）對稱的點的坐標是（c，d），
那么，點（a，b）是點（m，n）與點（c，d）的中點，
即：m+c=2a，n+d=2b，
令x₀=a-m，則m=a-x₀，c=a+x₀，
點（m，n）在函數(shù)y=（x）的圖象上，
那么：n=f（m）=f（a-x₀），
所以，d=2b-n=2b-f（a-x₀）=f（a+x₀）=f（c），
即點（c，d ）也在函數(shù)y=f（x）的圖象上則，
函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱，
即圖象關(guān)于（a，b）成中心對稱．
故答案為：（a，b）

點評 本題考查了函數(shù)的對稱中心的問題，希望同學們也把這個結(jié)論記住，很多時候直接應用即可，屬于中檔題．