Question

4．若對(duì)于函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的任意x都有f（a+x）=2b-f（a-x），則y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱(chēng)．

Answer 1

分析 根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)即可得到y(tǒng)=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱(chēng)，并證明成立即可．

解答 解：函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足f（a+x）=2b-f（a-x），
設(shè)（m，n）是函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（c，d），
那么，點(diǎn)（a，b）是點(diǎn)（m，n）與點(diǎn)（c，d）的中點(diǎn)，
即：m+c=2a，n+d=2b，
令x₀=a-m，則m=a-x₀，c=a+x₀，
點(diǎn)（m，n）在函數(shù)y=（x）的圖象上，
那么：n=f（m）=f（a-x₀），
所以，d=2b-n=2b-f（a-x₀）=f（a+x₀）=f（c），
即點(diǎn)（c，d ）也在函數(shù)y=f（x）的圖象上則，
函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱(chēng)，
即圖象關(guān)于（a，b）成中心對(duì)稱(chēng)．
故答案為：（a，b）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心的問(wèn)題，希望同學(xué)們也把這個(gè)結(jié)論記住，很多時(shí)候直接應(yīng)用即可，屬于中檔題．