Question

20．函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)在（0，2）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)成立的條件進(jìn)行求解．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，則x≠0，即函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠0}．
（2）f（-x）=-x-$\frac{4}{x}$=-（x+$\frac{4}{x}$）=-f（x），
則函數(shù)為奇函數(shù)．
（3）任取x₁，x₂∈（0，2）
則f（x₁）-f（x₂）=x₁-x₂+（$\frac{4}{{x}_{1}}$-$\frac{4}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，
又∵x₁，x₂∈（0，2），
∴0＜x₁•x₂＜4，x₁•x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
則函數(shù)在（0，2）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)定義域，奇偶性和單調(diào)性的求解和判斷，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．