Question

4．在（2+$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2016}}$）¹⁰的展開式中，x⁴項(xiàng)的系數(shù)為180（結(jié)果用數(shù)值表示）．

Answer 1

分析 通過分析只需考慮（2+$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2016}}$）¹⁰展開式中的第二項(xiàng)，進(jìn)而只需考查$（2+\sqrt{x}）^{10}$的展開式中通項(xiàng)T_k+1=${C}_{10}^{k}$2^10-k•${x}^{\frac{k}{2}}$中含x⁴的項(xiàng)，比較可得k=8，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（2+$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2016}}$）¹⁰=$[（2+\sqrt{x}）-\frac{1}{{x}^{2016}}]^{10}$=$\sum_{r=0}^{10}$$（2+\sqrt{x}）^{10-r}$$（-\frac{1}{{x}^{2016}}）^{r}$，
依題意，只需考慮r=0時(shí)，即只需$（2+\sqrt{x}）^{10}$中x⁴項(xiàng)的系數(shù)，
∵$（2+\sqrt{x}）^{10}$的展開式中通項(xiàng)T_k+1=${C}_{10}^{k}$2^10-k•${x}^{\frac{k}{2}}$，
令${x}^{\frac{k}{2}}$=x⁴，可得k=8，
∴所求系數(shù)為${C}_{10}^{8}$2^10-8=180，
故答案為：180．

點(diǎn)評 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．