Question

7．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列對應(yīng)值如表：

x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{11π}{6}$	$\frac{7π}{3}$	$\frac{17π}{6}$
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f（x）的一個解析式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果：
（ i）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，方程f（3x）=m恰有兩個不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（ ii）若α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，試比較f（sinα）與f（cosβ）的大�。�

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A、B，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）（ i）由題意可得y=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1的圖象和直線y=m在[0，$\frac{π}{3}$]上恰好有兩個不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得m的范圍；
（ ii）由條件可得f（x）在$[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$上單調(diào)遞增，故在[0，1]上單調(diào)遞增，且α、β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，α+β＞$\frac{π}{2}$，即$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{2}$-β，由此可得f（sinα）與f（cosβ）的大小關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)f（x）的最小正周期為T，則由表格可得T=$\frac{11π}{6}$-（-$\frac{π}{6}$）=2π=$\frac{2π}{ω}$，得ω=1，
再根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{B+A=3}\\{B-A=-1}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{A=2}\\{B=1}\end{array}\right.$，
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得令ω•$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，即$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，解得φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1．
（2）（ i）f（3x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1，令t=3x-$\frac{π}{3}$，∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴t∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
如圖，s=sint 在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]上有兩個不同的解，則s∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴方程 f（3x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1=2s+1=m在x∈[0，$\frac{π}{3}$]時恰好有兩個不同的解，則m∈[$\sqrt{3}$+1，3），
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\sqrt{3}$+1，3）．
（ ii）由$-\frac{π}{2}≤x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}$得$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{5π}{6}$，
∴f（x）在$[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$上單調(diào)遞增，故在[0，1]上單調(diào)遞增．
∵α、β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，∴α+β＞$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{2}$-β，
∴sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，且sinα，cosβ∈[0，1]，于是f（sinα）＞f（cosβ）．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A、B，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，屬于中檔題．