Question

18．已知拋物線y²=4x的焦點為F，過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，則3|AF|+4|BF|的最小值為7+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)直線方程為x=my+1，聯(lián)立方程組得出A，B兩點坐標的關(guān)系，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出3|AF|+4|BF|關(guān)于A，B兩點坐標的式子，使用基本不等式得出最小值．

解答 解：拋物線的焦點F（1，0），
設(shè)直線AB的方程為x=my+1．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，得x²-（4m²+2）x+1=0．
設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），則$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$=1．∴y₂²=$\frac{16}{{{y}_{1}}^{2}}$．
由拋物線的性質(zhì)得|AF|=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}+1$，|BF|=$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}+1$=$\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}+1$．
∴3|AF|+4|BF|=$\frac{3{{y}_{1}}^{2}}{4}$+3+$\frac{16}{{{y}_{1}}^{2}}$+4=7+$\frac{3{{y}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{16}{{{y}_{1}}^{2}}$≥7+2$\sqrt{12}$=7+4$\sqrt{3}$．
故答案為：$7+4\sqrt{3}$．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．