【題目】已知x,y∈R,m+n=7,f(x)=|x﹣1|﹣|x+1|.
(1)解不等式f(x)≥(m+n)x;
(2)設(shè)max{a,b}= ,求F=max{|x2﹣4y+m|,|y2﹣2x+n|}的最小值.

【答案】
(1)解:不等式f(x)≥(m+n)x等價于|x﹣1|﹣|x+1|﹣7x≥0,

當(dāng)x≤﹣1時,不等式可化為2﹣7x≥0,解得x≤ ,又x≤﹣1,故x≤﹣1;

當(dāng)x≥1時,不等式可化為﹣2﹣7x≥0,解得x≤﹣ ,舍去;

當(dāng)﹣1<x<1時,不等式可化為﹣2x﹣7x≥0,解得x≤0,又﹣1<x<1,故﹣1<x≤0.

綜上,不等式的解集為{x|x≤0}


(2)解:∵F=max{|x2﹣4y+m|,|y2﹣2x+n|},

∴F≥|x2﹣4y+m|,F(xiàn)≥|y2﹣2x+n|,

兩式相加得:2F≥|x2﹣4y+m|+|y2﹣2x+n|≥|x2+y2﹣2x﹣4y+7|=|(x﹣1)2+(y﹣2)2+2|≥2,

∴F≥1.當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=2時取得等號.

即F的最小值為1


【解析】(1)對x的范圍進(jìn)行討論,去掉絕對值符號,轉(zhuǎn)化為一元一次不等式解出;(2)將兩式相加,利用絕對值不等式化簡即可得出結(jié)論.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識,掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担

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