【題目】已知雙曲線x2﹣2y2=2的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2 , 動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1|+|PF2|=4.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程;
(2)設(shè)過(guò)F2且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l交軌跡E于A,B兩點(diǎn),問(wèn):線段OF2上是否存在一點(diǎn)D,使得以DA,DB為鄰邊的平行四邊形為菱形?作出判斷并證明.
【答案】
(1)解:雙曲線的方程可化為 ﹣y2=1,
則|F1F2|=2 ,
|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|=2 ,
由橢圓的定義可得P點(diǎn)的軌跡E是以F1、F2為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸為4的橢圓
由a=2,c= ,可得b= =1,
可得所求軌跡E的方程為 +y2=1
(2)解:線段OF2上假設(shè)存在一點(diǎn)D(m,0)(0≤m≤ ),
使得以DA,DB為鄰邊的平行四邊形為菱形.
設(shè)l的方程為y=k(x﹣ ),則k≠0,
代入橢圓方程可得(1+4k2)x2﹣8 k2x+12k2﹣4=0,
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2= ,
∴y1+y2=k(x1+x2﹣2 )= ,
∵以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形,
∴( + )⊥ ,
由 + =(x1﹣m,y1)+(x2﹣m,y2)=(x1+x2﹣2m,y1+y2)=( ﹣2m, ),
的方向向量為(1,k),
( + ) =0) ﹣2m+ k=0,
即m= = ﹣ ,
由k2>0,可得0<m< < ,即0<m< .
故存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D
【解析】(1)求得雙曲線的焦距,因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1|+|PF2|=4,利用橢圓定義,可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為橢圓,且該橢圓以F1、F2為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸為4,從而可求橢圓方程;(2)線段OF2上假設(shè)存在一點(diǎn)D(m,0)(0≤m≤ ),設(shè)l的方程為y=k(x﹣ ),則k≠0,代入橢圓方程,可得x的方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形,可得( + )⊥ ,分別求得( + )的坐標(biāo), 的方向向量,運(yùn)用數(shù)量積為0,求出m的表達(dá)式,求得范圍,即可判斷存在性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)全集為實(shí)數(shù)集R,函數(shù)f(x)=lg(2x﹣1)的定義域?yàn)锳,集合B={x||x|﹣a≤0}(a∈R)
(1)若a=2,求A∪B和A∩B
(2)若RA∪B=RA,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了得到函數(shù)y=2sin( + ),x∈R的圖象,只需要把函數(shù)y=2sinx,x∈R的圖象上所有的點(diǎn)( )
A.向左平移 個(gè)單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 倍(縱坐標(biāo)不變)
B.向右平移 個(gè)單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 倍(縱坐標(biāo)不變)
C.向左平移 個(gè)單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變)
D.向右平移 個(gè)單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A.已知購(gòu)買(mǎi)一張彩票中獎(jiǎng)的概率為 ,則購(gòu)買(mǎi)1000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)
B.互斥事件一定是對(duì)立事件
C.如圖,直線l是變量x和y的線性回歸方程,則變量x和y相關(guān)系數(shù)在﹣1到0之間
D.若樣本x1 , x2 , …xn的方差是4,則x1﹣1,x2﹣1,…xn﹣1的方差是3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的方程為.
(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求的極坐標(biāo)方程;
(2)直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),與交于兩點(diǎn), ,求的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解某單位員工的月工資水平,從該單位500位員工中隨機(jī)抽取了50位進(jìn)行調(diào)查,得到如下頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖:
月工資 | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
男員工數(shù) | 1 | 8 | 10 | 6 | 4 | 4 |
女員工數(shù) | 4 | 2 | 5 | 4 | 1 | 1 |
(1)試由圖估計(jì)該單位員工月平均工資;
(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從月工資在[45,55)和[55,65)的兩組所調(diào)查的男員工中隨機(jī)選取5人,問(wèn)各應(yīng)抽取多少人?
(3)若從月工資在[25,35)和[45,55)兩組所調(diào)查的女員工中隨機(jī)選取2人,試求這2人月工資差不超過(guò)1000元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某農(nóng)戶(hù)準(zhǔn)備建一個(gè)水平放置的直四棱柱形儲(chǔ)水器(如圖),其中直四棱柱的高,兩底面是高為,面積為的等腰梯形,且,若儲(chǔ)水窖頂蓋每平方米的造價(jià)為100元,側(cè)面每平方米的造價(jià)為400元,底部每平方米的造價(jià)為500元.
(1)試將儲(chǔ)水窖的造價(jià)表示為的函數(shù);
(2)該農(nóng)戶(hù)如何設(shè)計(jì)儲(chǔ)水窖,才能使得儲(chǔ)水窖的造價(jià)最低,最低造價(jià)是多少元?(取).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,現(xiàn)要在邊長(zhǎng)為100m的正方形ABCD內(nèi)建一個(gè)交通“環(huán)島”.以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心在四個(gè)角分別建半徑為xm(x不小于9)的扇形花壇,以正方形的中心為圓心建一個(gè)半徑為 m的圓形草地.為了保證道路暢通,島口寬不小于60m,繞島行駛的路寬均小于10m.
(1)求x的取值范圍;(運(yùn)算中 取1.4)
(2)若中間草地的造價(jià)為a元/m2 , 四個(gè)花壇的造價(jià)為 元/m2 , 其余區(qū)域的造價(jià)為 元/m2 , 當(dāng)x取何值時(shí),可使“環(huán)島”的整體造價(jià)最低?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).
(1)證明:BE⊥DC;
(2)求直線BE與平面PBD所成角的余弦值.
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