Question

對(duì)于定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x），存在常數(shù)k（k∈R），使得f（x+k）+kf（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則稱f（x）為k層的螺旋函數(shù)，現(xiàn)給出四個(gè)命題：
①f（x）=2是2層螺旋函數(shù)；　
②f（x）=x²是k層螺旋函數(shù)；
③f（x）=4^x是-

1

2

層螺旋函數(shù)；
④f（x）=sin（πx）是1層螺旋函數(shù)．
其中正確的命題有（　�。�

• A、①③
• B、②③
• C、③④
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：推理和證明

分析：根據(jù)k層的螺旋函數(shù)的定義，對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：對(duì)于①f（x）=2是2層螺旋函數(shù)，若命題正確，則由f（x+k）+kf（x）=0，得2+2×2=0，矛盾，故①不正確．
對(duì)于②f（x）=x²是k層螺旋函數(shù)，若命題正確，則（x+k）²+kx²=0，即（1+k）x²+2kx+k²=0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，故矛盾，故②不成立．
對(duì)于③，∵f（x）=4^x，∴f（x-

1

2

）-

1

2

f（x）=4 (x-

1

2

)-

1

2

×4^x=

1

2

×4^x-

1

2

×4^x=0恒成立，故③是正確的．
④f（x）=sin（πx）是1層螺旋函數(shù)．對(duì)于④f（x）=sin（πx）是1層螺旋函數(shù)，∵f（x）=sin（πx），∴f（x+1）+f（x）=sin（π+x）+sinx=-sinx+sinx=0恒成立，故④是正確的．
綜上，③④是正確的．
故答案為選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的新概念的定義，屬于基礎(chǔ)題．