Question

8．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（{A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}}$）在某一周期內(nèi)圖象最低點與最高點的坐標(biāo)分別為$（{\frac{7π}{3}，-\sqrt{3}}）和（{\frac{13π}{3}，\sqrt{3}}）$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f（A）=$\sqrt{3}$，a=3，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦函數(shù)的性質(zhì)，求得A及T的值，ω=$\frac{2π}{T}$，求得ω，將（$\frac{13π}{3}$，$\sqrt{3}$）代入求得φ的值，即可求得函數(shù)表達式；
（Ⅱ）根據(jù)正弦定理求得角A值，b、c關(guān)系，L=a+b+c=6sin（B+$\frac{π}{6}$）+3，根據(jù)正弦函數(shù)最值，求得L的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得：A=$\sqrt{3}$，$\frac{T}{2}$=$\frac{13π}{3}$-$\frac{7π}{3}$=2π，T=4π，ω=$\frac{1}{2}$，
由$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{3}$+φ）=$\sqrt{3}$，
可得：$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}}$，φ=$\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)表達式：f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），
（Ⅱ）∵f（A）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，sin（$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{3}$）=1，
A∈（0，π），$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），可得：$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解：A=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
三角形的周長L=a+b+c=b+c+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sinC+3，
=2$\sqrt{3}$[sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）]+3，
=2$\sqrt{3}$（sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）+3，
=2$\sqrt{3}$（sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）+3，
=6sin（B+$\frac{π}{6}$）+3，
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴6＜6sin（B+$\frac{π}{6}$）+3≤9，
△ABC周長的取值范圍（6，9]．

點評 本題考查求正弦函數(shù)解析式、正弦余弦定理及正弦函數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．