Question

7．若a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+2b}=1$，則2a+b的最小值為（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $4+2\sqrt{3}$
• D． $\frac{1}{2}+\sqrt{3}$

Answer 1

分析 可設(shè)m=a+1，n=a+2b，即有$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，則a=m-1，b=$\frac{1}{2}$（n-a）=$\frac{1}{2}$（n-m+1），可得2a+b=$\frac{1}{2}$（3m+n-3），由3m+n=（3m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{3m}{n}$，運用基本不等式可得所求最小值，注意等號成立的條件．

解答 解：a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+2b}=1$，
設(shè)m=a+1，n=a+2b，即有$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，
則a=m-1，b=$\frac{1}{2}$（n-a）=$\frac{1}{2}$（n-m+1），
可得2a+b=2m-2+$\frac{1}{2}$（n-m+1）
=$\frac{1}{2}$（3m+n-3），
由3m+n=（3m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{3m}{n}$
≥4+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{3m}{n}}$=4+2$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)n=$\sqrt{3}$m=$\sqrt{3}$+1時，上式取得等號．
則$\frac{1}{2}$（3m+n-3）≥$\frac{1}{2}$（1+2$\sqrt{3}$）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$．
則2a+b的最小值為$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，注意運用換元法和變形，以及“1”的代換，考查運算能力，屬于中檔題．