Question

17．若動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)A（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等，則點(diǎn)M的軌跡方程為y²=4x，若動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)A（1，0）與點(diǎn)B（2，0）的距離比為1：2，則點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²-$\frac{4}{3}$x=0．

Answer 1

分析 由拋物線的定義可得，軌跡是以點(diǎn)A（-2，0）為焦點(diǎn)，以直線x=2為準(zhǔn)線的拋物線，寫(xiě)出拋物線方程．設(shè)出M的坐標(biāo)，直接由M與兩個(gè)定點(diǎn)點(diǎn)A（1，0）與點(diǎn)B（2，0）的距離之比為$\frac{1}{2}$列式整理得方程．

解答 解：第一個(gè)空：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，到點(diǎn)A（1，0）和到直線x=-1距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)A（1，0）為焦點(diǎn)，
以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，p=2，故拋物線方程為 y²=4x；
第二個(gè)空：設(shè)M（x，y），由點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)點(diǎn)A（1，0）與點(diǎn)B（2，0）的距離之比為$\frac{1}{2}$，得
$\frac{\sqrt{（{x-1）}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{{（x-2）}^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，整理得：x²+y²-$\frac{4}{3}$x=0．
∴點(diǎn)M的軌跡方程是：x²+y²-$\frac{4}{3}$x=0．
故答案為：y²=4x；x²+y²-$\frac{4}{3}$x=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷軌跡是以點(diǎn)A（1，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查距離公式的應(yīng)用．