Question

16．動圓C₁過點（1，0），且與直線x=-1相切，圓心為M．
（1）求M的軌跡方程，
（2）直線l與圓C₂：x²+y²=r²（r＞0）相切，并與M的軌跡相交于A，B兩點，以AB為直徑的圓恒過圓C₂的圓心，當(dāng)r值最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）判斷M的軌跡為拋物線，利用定義求解即可．
（2）設(shè)直線l方程為my=x+t，直線與圓相切推出關(guān)系式，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用判別式推出m²＞t，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）結(jié)合韋達(dá)定理，通過OA⊥OB求出t的值，然后求解直線l的方程．

解答 解：（1）易知M的軌跡為頂點在原點，焦點為（1，0）的拋物線，
所以M的軌跡方程為y²=4x．…（4分）
（2）設(shè)直線l方程為my=x+t，則有$\frac{|t|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}=r$
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.⇒{y^2}-4my+4t=0$，△=16m²-16t＞0，得m²＞t，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=4m}\\{{y_1}•{y_2}=4t}\end{array}}\right.$…（7分）
x₁•x₂=（my₁-t）（my₂-t）=${m^2}{y_1}{y_2}-mt（{y_1}+{y_2}）+{t^2}$=4m²t-4m²t+t²=t²
∵以AB為直徑的圓恒過圓C₂的圓心，
∴OA⊥OB，可得：x₁•x₂+y₁•y₂=0，t²+4t=0t=-4或t=0（舍去）…（10分）
$r=\frac{4}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$，
當(dāng)m=0時，r_max=4
此時直線l的方程為x=4…（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．