Question

12．f（x）是定義域在R上的增函數(shù)：且滿足f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值：
（2）若f（6）=1，求方程f（x）=2的解；
（3）若f（6）=1，解不等式f（x+2）-f（$\frac{1}{x}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）直接令x=y=1就能求得f（1）的值；
（2）根據(jù)定義得到f（36）=2f（6），從而解出方程；
（3）運用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為解一元二次不等式．

解答 解：（1）令x=y=1代入得，
f（1）=f（1）-f（1）=0，
即f（1）的值為0；
（2）∵f（6）=1，且f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），
∴f（6）=f（$\frac{36}{6}$）=f（36）-f（6），
即f（36）=2f（6）=2，且f（x）為R上的增函數(shù)，
所以由f（x）=2得，x=36，
即方程f（x）=2的解為x=36；
（3）由（2）得，f（x（x+2））＜f（36），
根據(jù)單調(diào)性，x（x+2）＜36，
解得，x∈（-1-$\sqrt{37}$，-1+$\sqrt{37}$）．

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)函數(shù)值的求解，并運用函數(shù)的單調(diào)性解方程和不等式，屬于中檔題．