Question

4．為了滿足社區(qū)居民健身活動(dòng)，某社區(qū)準(zhǔn)備在一塊大約400m×400m的接近正方形荒地上建一個(gè)健身活動(dòng)廣場(chǎng)，首先要建設(shè)如圖所示的一個(gè)總面積為4000m²的矩形場(chǎng)地，其中陰影部分為通道，通道寬度均為2米，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)�鋪設(shè)塑膠地面作為健身運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地（其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同），怎樣設(shè)計(jì)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬，使塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為xm，寬為ym，塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積設(shè)為Sm²，總面積為xy=4000，且2a+6=x，a=$\frac{x-6}{2}$，y=$\frac{4000}{x}$，從而運(yùn)動(dòng)場(chǎng)占地面積為S=（y-4）a+（y-6）a=（2y-10）a=（x-6）（$\frac{4000}{x}$-5），由a＞0，可得x＞6，$\frac{4000}{x}$-5＞0，可得x＜800．其定義域是（6，800）．則S=4030-（5x+$\frac{24000}{x}$），由基本不等式可得函數(shù)的最大值，以及對(duì)應(yīng)的x，y的值．

解答 解：設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為xm，寬為ym，塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積設(shè)為Sm²，
即有xy=4000，y=$\frac{4000}{x}$，
S=（y-4）a+（y-6）a=（2y-10）a，
由2a+6=x，可得a=$\frac{x-6}{2}$，S=（$\frac{8000}{x}$-10）•$\frac{x-6}{2}$=（x-6）（$\frac{4000}{x}$-5），
由a＞0，可得x＞6，$\frac{4000}{x}$-5＞0，可得x＜800．
其定義域是（6，800）．
則S=4030-（5x+$\frac{24000}{x}$）≤4030-2$\sqrt{5x•\frac{24000}{x}}$=4030-400$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)5x=$\frac{24000}{x}$，即x=40$\sqrt{3}$∈（6，800）時(shí)，上述不等式等號(hào)成立，
此時(shí)x=40$\sqrt{3}$，y=$\frac{100\sqrt{3}}{3}$，S_max=4030-400$\sqrt{3}$．
答：設(shè)計(jì)x=40$\sqrt{3}$m，y=$\frac{100\sqrt{3}}{3}$m時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地面積最大，最大值為4030-400$\sqrt{3}$平方米

點(diǎn)評(píng) 本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵，屬于中檔題．