Question

13．等差數(shù)列{a_n}中，前三項(xiàng)分別為x，2x，5x-4，前n項(xiàng)和為S_n，且S_k=2550．
（1）求x和k的值；
（2）求T=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式即可得出．
（2）由（1）可得：a_n，S_n=n²+n．再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，前三項(xiàng)分別為x，2x，5x-4，
∴2×2x=x+5x-4，解得x=2．
∴首項(xiàng)a₁=2，公差d=2．
∵S_k=2550=2k+$\frac{k（k-1）}{2}$×2，
化為：k²+k-2550=0，
解得k=50．
（2）由（1）可得：a_n=2+2（n-1）=2n．
∴S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴T=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．