Question

14．求適合下列條件的標準方程：
（1）焦點在x軸上，與橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1具有相同的離心率且過點（2，-$\sqrt{3}$）的橢圓的標準方程；
（2）焦點在x軸上，頂點間的距離為6，漸近線方程為y=±$\frac{1}{3}$x的雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 （1）根據兩個橢圓有相同的離心率，利用待定系數法進行求解即可．
（2）利用待定系數法，結合條件求出a，b的值即可得到結論．

解答 解：（1）∵焦點在x軸上，與橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1具有相同的離心率，
∴設對應的橢圓方程為$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=λ，（λ＞0），
∵橢圓過點（2，-$\sqrt{3}$），
∴λ=$\frac{4}{4}+\frac{3}{3}=1+1=2$，
即對應的橢圓方程為$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=2，
即$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$．
（2）當焦點在x軸上時，設所求雙曲線的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1，
∵頂點間的距離為6，漸近線方程為y=±$\frac{1}{3}$x，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=6\\ \frac{a}=\frac{1}{3}.\end{array}\right.$解得a=3，b=1．
則焦點在x軸上的雙曲線的方程為$\frac{x^2}{9}-{y^2}=1$．

點評 本題主要考查橢圓和雙曲線方程的求解，利用待定系數法是解決本題的關鍵．比較基礎．