Question

14．求適合下列條件的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)在x軸上，與橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1具有相同的離心率且過點(diǎn)（2，-$\sqrt{3}$）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）焦點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)間的距離為6，漸近線方程為y=±$\frac{1}{3}$x的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩個(gè)橢圓有相同的離心率，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可．
（2）利用待定系數(shù)法，結(jié)合條件求出a，b的值即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵焦點(diǎn)在x軸上，與橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1具有相同的離心率，
∴設(shè)對應(yīng)的橢圓方程為$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=λ，（λ＞0），
∵橢圓過點(diǎn)（2，-$\sqrt{3}$），
∴λ=$\frac{4}{4}+\frac{3}{3}=1+1=2$，
即對應(yīng)的橢圓方程為$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=2，
即$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$．
（2）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1，
∵頂點(diǎn)間的距離為6，漸近線方程為y=±$\frac{1}{3}$x，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=6\\ \frac{a}=\frac{1}{3}.\end{array}\right.$解得a=3，b=1．
則焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的方程為$\frac{x^2}{9}-{y^2}=1$．

點(diǎn)評 本題主要考查橢圓和雙曲線方程的求解，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．