Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$；
（Ⅱ）若向量λ$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與向量2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，求實數λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$展開．結合已知向量的模求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$；
（Ⅱ）利用向量λ$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與向量2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，得到數量積為0，得到關于λ的方程解之，

解答 解：因為向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$．
（Ⅰ）所以|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|²=7，展開整理得${\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}=7$，所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-3；
（Ⅱ）向量λ$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與向量2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，（λ$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，展開得到$2λ{\overrightarrow{a}}^{2}-2{\overrightarrow}^{2}+（4-λ）\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，所以6λ-8-3（4-λ）=0，解得λ=$\frac{20}{9}$．

點評 本題考查了平面向量數量積的運算以及向量垂直的性質運用；注意，向量的平方與其模的平方相等．