6.函數(shù)f(x)=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最小值為(  )
A.2$\sqrt{5}$B.$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$C.$\sqrt{7}$D.$\sqrt{10}$

分析 函數(shù)f(x)=$\sqrt{(x-0)^{2}+(1-0)^{2}}$+$\sqrt{(x-2)^{2}+(0-3)^{2}}$表示點P(x,0)與A(0,1)和B(2,3)的距離,作A關于x軸的對稱點A'(0,-1),連接A'B,運用兩點間線段最短,即可得到所求的最小值.

解答 解:函數(shù)f(x)=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$
=$\sqrt{(x-0)^{2}+(1-0)^{2}}$+$\sqrt{(x-2)^{2}+(0-3)^{2}}$,
表示點P(x,0)與A(0,1)和B(2,3)的距離,
作A關于x軸的對稱點A'(0,-1),
連接A'B,由|PA|+|PB|≥|PA'|+|PB|
=|A'B|=$\sqrt{(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}}$=2$\sqrt{5}$.
當且僅當A',B,P三點共線時,取得最小值,且為2$\sqrt{5}$.
故選:A.

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法,注意運用幾何意義:兩點的距離公式,考查運算能力,屬于中檔題.

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