Question

6．函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最小值為（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\sqrt{（x-0）^{2}+（1-0）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-3）^{2}}$表示點P（x，0）與A（0，1）和B（2，3）的距離，作A關于x軸的對稱點A'（0，-1），連接A'B，運用兩點間線段最短，即可得到所求的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$
=$\sqrt{（x-0）^{2}+（1-0）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-3）^{2}}$，
表示點P（x，0）與A（0，1）和B（2，3）的距離，
作A關于x軸的對稱點A'（0，-1），
連接A'B，由|PA|+|PB|≥|PA'|+|PB|
=|A'B|=$\sqrt{（0-2）^{2}+（-1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
當且僅當A'，B，P三點共線時，取得最小值，且為2$\sqrt{5}$．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用幾何意義：兩點的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．