Question

16．曲線$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=4的四個頂點連結而成的四邊形面積是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用橢圓的定義，確定軌跡方程，即可得出結論．

解答 解：曲線$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=4，表示（x，y）與（-1，0），（1，0）的距離的和為4，
∴軌跡為以（-1，0），（1，0）為焦點的橢圓，且c=1，a=2，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴曲線$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=4的四個頂點連結而成的四邊形面積是4×$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的定義與方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．