4.已知點A(2,3),B(-1,1)和直線l:x+y+1=0.
(1)求直線AB與直線l的交點C的坐標;
(2)求過點A且與直線l平行的直線方程;
(3)在直線l上求一點P,使PA+PB取得最小值.

分析 (1)利用點斜式求出直線AB的方程,與直線l:x+y+1=0聯(lián)立,可得C的坐標;
(2)設(shè)直線方程為x+y+c=0,代入A,可得過點A且與直線l平行的直線方程;
(3)求出A關(guān)于直線l的對稱點為D,直線BD的方程,與直線l:x+y+1=0聯(lián)立,可得點P,使PA+PB取得最小值.

解答 解:(1)∵點A(2,3),B(-1,1),
∴直線AB的方程為y-1=$\frac{2}{3}$(x+1),即2x-3y+5=0,
與直線l:x+y+1=0聯(lián)立,可得C(-$\frac{8}{5}$,$\frac{3}{5}$);
(2)設(shè)直線方程為x+y+c=0,代入A,可得c=-5,
∴過點A且與直線l平行的直線方程為x+y-5=0;
(3)設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點為D(a,b),則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-3}{a-2}=1}\\{\frac{2+a}{2}+\frac{3+b}{2}+1=0}\end{array}\right.$,∴a=-4,b=-3,
直線BD的方程為y+3=$\frac{1+3}{-1+4}$(x+4),即4x-3y+7=0,
與直線l:x+y+1=0聯(lián)立,可得P(-$\frac{10}{7}$,$\frac{3}{7}$).

點評 本題考查直線方程,考查對稱點的求法,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.

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