Question

4．已知點(diǎn)A（2，3），B（-1，1）和直線l：x+y+1=0．
（1）求直線AB與直線l的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求過點(diǎn)A且與直線l平行的直線方程；
（3）在直線l上求一點(diǎn)P，使PA+PB取得最小值．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)斜式求出直線AB的方程，與直線l：x+y+1=0聯(lián)立，可得C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線方程為x+y+c=0，代入A，可得過點(diǎn)A且與直線l平行的直線方程；
（3）求出A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為D，直線BD的方程，與直線l：x+y+1=0聯(lián)立，可得點(diǎn)P，使PA+PB取得最小值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（2，3），B（-1，1），
∴直線AB的方程為y-1=$\frac{2}{3}$（x+1），即2x-3y+5=0，
與直線l：x+y+1=0聯(lián)立，可得C（-$\frac{8}{5}$，$\frac{3}{5}$）；
（2）設(shè)直線方程為x+y+c=0，代入A，可得c=-5，
∴過點(diǎn)A且與直線l平行的直線方程為x+y-5=0；
（3）設(shè)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為D（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-3}{a-2}=1}\\{\frac{2+a}{2}+\frac{3+b}{2}+1=0}\end{array}\right.$，∴a=-4，b=-3，
直線BD的方程為y+3=$\frac{1+3}{-1+4}$（x+4），即4x-3y+7=0，
與直線l：x+y+1=0聯(lián)立，可得P（-$\frac{10}{7}$，$\frac{3}{7}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查對(duì)稱點(diǎn)的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．