Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x³-1|+x³+ax（a∈R）．
（1）解關(guān)于字母a的不等式[f（-1）]²≤f（2）；
（2）若a＜0，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）關(guān)于字母a的不等式[f（-1）]²≤f（2），即 a²-4a-14≤0，由此求得a的范圍．
（2）a＜0時，f（x）=|x³-1|+x³+ax=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{3}+ax-1，x≥1}\\{ax+1，x＜1}\end{array}\right.$，分類討論，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得求得它的最小值．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=|x³-1|+x³+ax，關(guān)于字母a的不等式[f（-1）]²≤f（2），
即 （1-a）²≤15+2a，即 a²-4a-14≤0，解得 2-2$\sqrt{5}$≤a≤2+2$\sqrt{5}$．
（2）∵a＜0，f（x）=|x³-1|+x³+ax=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{3}+ax-1，x≥1}\\{ax+1，x＜1}\end{array}\right.$，
若$\frac{-a}{6}$≥1，即a≤-6時，則當(dāng)x＞1時，f（x）=2x³+ax-1，f′（x）=6x²+a，令f′（x）=0，求得x=$\sqrt{\frac{-a}{6}}$．
故在（1，$\sqrt{\frac{-a}{6}}$）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在（ $\sqrt{\frac{-a}{6}}$，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x＜1時，函數(shù)f（x）=ax+1，函數(shù)單調(diào)遞減，故f（x）在（-∞，$\sqrt{\frac{-a}{6}}$）上單調(diào)遞減，
在（$\sqrt{\frac{-a}{6}}$，+∞）上單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）的最小值為f（$\sqrt{\frac{-a}{6}}$）=$\frac{2}{3}$a•$\sqrt{\frac{-a}{6}}$-1．
若$\frac{-a}{6}$＜1，即0＞a＞-6時，
則當(dāng)x＞1時，f（x）=2x³+ax-1，f′（x）=6x²+a，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x＜1時，函數(shù)f（x）=ax+1，函數(shù)單調(diào)遞減，
故f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）的最小值為f（1）=1+a．
綜上可得，f_min（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{3}•\sqrt{\frac{-a}{6}}-1，a≤-6}\\{1+a，-6＜a＜0}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，一元二次不等式的解法，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．