Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上一點(diǎn)（在x軸上方），連結(jié)PF₁并延長交橢圓于另一點(diǎn)Q，設(shè)$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （1，$\frac{3}{2}$），且△PQF₂的周長為8，求橢圓C的方程；
（2）若PF₂垂直于x軸，且橢圓C的離心率e∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由F₁，F(xiàn)₂為橢圓C的兩焦點(diǎn)，且P，Q為橢圓上的點(diǎn)，利用橢圓的定義可得△PQF₂的周長為4a．由點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （1，$\frac{3}{2}$），可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，解出即可得出．
（2）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）∵F₁，F(xiàn)₂為橢圓C的兩焦點(diǎn)，且P，Q為橢圓上的點(diǎn)，
∴PF₁+PF₂=QF₁+QF₂=2a，從而△PQF₂的周長為4a．
由題意，得4a=8，解得a=2．  
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （1，$\frac{3}{2}$），∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，
解得b²=3．
∴橢圓C的方程為$\frac{x2}{4}$+$\frac{y2}{3}$=1． 
（2）∵PF₂⊥x軸，且P在x軸上方，故設(shè)P（c，y₀），y₀＞0．設(shè)Q（x₁，y₁）．
∵P在橢圓上，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1，解得y₀=$\frac{^{2}}{a}$，即P（c，$\frac{^{2}}{a}$）．
∵F₁（-c，0），∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-2c，-$\frac{^{2}}{a}$），$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₁+c，y₁）．
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，得-2c=λ（x₁+c），-$\frac{^{2}}{a}$=λy₁，
解得x₁=-$\frac{λ+2}{λ}$c，y₁=-$\frac{^{2}}{λa}$，∴Q（-$\frac{λ+2}{λ}$c，-$\frac{^{2}}{λa}$）．
∵點(diǎn)Q在橢圓上，∴（$\frac{λ+2}{λ}$）²e²+$\frac{^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}$=1，
即（λ+2）²e²+（1-e²）=λ²，（λ²+4λ+3）e²=λ²-1，
∵λ+1≠0，∴（λ+3）e²=λ-1，從而λ=$\frac{3e2+1}{1-e2}$=$\frac{4}{1-e2}$-3．
∵e∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，∴$\frac{1}{4}$≤e²≤$\frac{1}{2}$，即$\frac{7}{3}$≤λ≤5．
∴λ的取值范圍為[$\frac{7}{3}$，5]．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．