Question

4．為了了解學生的校園安全意識，某學校在全校抽取部分學生進行了消防知識問卷調查，問卷由三道選擇題組成，每道題答對得5分，答錯得0分，現將學生答卷得分的情況統計如下：

性別 人數 分數	0分	5分	10分	15分
女生	20	x	30	60
男生	10	25	35	y

已知被調查的所有女生的平均得分為8.25分，現從所有答卷中抽取一份，抽到男生的答卷且得分是15分的概率為$\frac{1}{10}$．
（Ⅰ）求x，y的值；
（Ⅱ）現要從得分是15分的學生中用分層抽樣的方法抽取6人進行消防知識培訓，再從這6人中隨機抽取2人參加消防知識競賽，求所抽取的2人中至少有1名男生的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據被調查的所有女生的平均得分為8.25分，得到關于x得方程，解得x即可，再根據抽到男生的答卷且得分是15分的概率為$\frac{1}{10}$得到關于y得方程，解得y即可；
（Ⅱ）根據分層抽樣，求出女生和男生得人數，再一一列舉出所有得基本事件，找到所抽取的2人中至少有1名男生的基本事件，根據概率公式計算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵被調查的所有女生的平均得分為8.25分，
∴$\frac{5x+30×10+15×60}{20+x+30+60}$=8.25，解得x=90，
現從所有答卷中抽取一份，共有結果（10+25+35+y）+（20+90+30+60）=270+y，
∴抽到男生且得分是15分得概率$\frac{y}{270+y}$=$\frac{1}{10}$，解得y=30，
（Ⅱ）從得分是15分的學生中用分層抽樣的方法抽取6人，則抽樣比例為$\frac{6}{90}$=$\frac{1}{15}$，
∴女生抽取4人，記為a，b，c，d，男生抽取2人，記為A，B，
從這6人中隨機抽取2人的種數AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15種，
其中所抽取的2人中至少有1名男生AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共9種，
故所抽取的2人中至少有1名男生的概率P=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查分層抽樣，以及古典概型的概率公式，考查數據處理能力和分析問題、解決問題的能力，屬于基礎題．