Question

11．定義在R上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）x+\frac{1}{2}，x∈（-∞，1]}\\{alo{g}_{a}x，x∈（1，+∞）}\end{array}\right.$（其中a＞0，且a≠1），對(duì)于任意x₁≠x₂都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{3}{4}$，1）
• B． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]
• C． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 由題意可得f（x）在R上遞減．運(yùn)用一次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合x=1的情況，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：任意x₁≠x₂都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
即為f（x）在R上遞減．
當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，f（x）=（1-2a）x+$\frac{1}{2}$遞減，
可得1-2a＜0，解得a＞$\frac{1}{2}$；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）=alog_ax遞減，
可得0＜a＜1；
由R上遞減，可得1-2a+$\frac{1}{2}$≥alog_a1=0，
解得a≤$\frac{3}{4}$．
綜上可得，$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{3}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查單調(diào)性的定義的運(yùn)用，注意分界點(diǎn)的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．