Question

2．設m是實數(shù)，函數(shù)$f（x）=m-\frac{3}{{{3^x}-1}}$．
（Ⅰ）求f（x）的定義域；
（Ⅱ）用定義證明：對于任意實數(shù)m，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可以看出要使f（x）有意義則需x≠0，這樣便得出f（x）的定義域；
（Ⅱ）根據(jù)增函數(shù)的定義，設任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，便可得到$f{（x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3（{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）}{（{3}^{{x}_{1}}-1）（{3}^{{x}_{2}}-1）}$，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可證明f（x₁）＞f（x₂），從而得出對任意實數(shù)m，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

解答 解：（I）解：由3^x-1≠0得，x≠0；
∴f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
（II）證明：設x₁＞x₂＞0則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3}{{3}^{{x}_{2}}-1}-\frac{3}{{3}^{{x}_{1}}-1}$=$\frac{3（{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）}{（{3}^{{x}_{1}}-1）（{3}^{{x}_{2}}-1）}$；
∵指數(shù)函數(shù)y=3^x在R上是增函數(shù)，且x₁＞x₂＞0；
∴${3}^{{x}_{1}}＞{3}^{{x}_{2}}＞1$；
∴${3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}＞0，{3}^{{x}_{1}}-1＞0，{3}^{{x}_{2}}-1＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴對于任意實數(shù)m，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

點評 考查函數(shù)定義域的概念及求法，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．