Question

9．已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象連續(xù)不斷，若存在常數(shù)t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0對任意的實(shí)數(shù)x成立，則稱f（x）是回旋函數(shù)．給出下列四個(gè)命題：
①常值函數(shù)f（x）=a（a≠0）為回旋函數(shù)的充要條件是t=-1；
②若f（x）=a^x（0＜a＜1）為回旋函數(shù)，則t＞1；
③函數(shù)f（x）=x²不是回旋函數(shù)；
④若f（x）是t=2的回旋函數(shù)，則f（x）在[0，4032]上至少有2016個(gè)零點(diǎn)．
其中為真命題的是①③④．（寫出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①利用回旋函數(shù)的定義即可．
②若指數(shù)函數(shù)y=a^x為階數(shù)為t回旋函數(shù)，根據(jù)定義求解，得矛盾結(jié)論．
③利用回旋函數(shù)的定義，令x=0，則必須有a=0；令x=1，則有a²+3a+1=0，故可判斷；．
④由定義得到f（x+2）=-2f（x），由零點(diǎn)存在定理得，在區(qū)間（x，x+2）上必有一個(gè)零點(diǎn)令x=0，2，2×2，3×2，…，2016×2，即可得到．

解答 解：①函數(shù)f（x）=2為回旋函數(shù)，則由f（x+t）+tf（x）=0，得2+2t=0，∴t=-1，故結(jié)論正確．
②，若指數(shù)函數(shù)y=a^x為階數(shù)為t回旋函數(shù)，則a^x+t+ta^x=0，a^t+t=0，∴t＜0，∴結(jié)論不成立．
③設(shè)f（x）=x²是回旋函數(shù)，則（x+a）²+ax²=0對任意實(shí)數(shù)都成立，
令x=0，則必須有a=0，令x=1，則有a²+3a+1=0，顯然a=0不是這個(gè)方程的解，故假設(shè)不成立，該函數(shù)不是回旋函數(shù)，故結(jié)論正確，
④：若f（x）是t=2的回旋函數(shù)，則f（x+2）+2f（x）=0對任意的實(shí)數(shù)x都成立，
即有f（x+2）=-2f（x），則f（x+2）與f（x）異號(hào)，
由零點(diǎn)存在定理得，在區(qū)間（x，x+2）上必有一個(gè)零點(diǎn)，可令x=0，2，4，6，…，2016×2，
則函數(shù)f（x）在[0，4032]上至少存在2016個(gè)零點(diǎn)．故結(jié)論正確
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷，考查新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的周期、函數(shù)的零點(diǎn)注意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．