Question

9．函數(shù)f（x）=λx（1-x）（λ＞0，x∈[0，1]）稱為邏輯斯蒂克函數(shù)，此函數(shù)也是動(dòng)物繁衍的數(shù)學(xué)模型，今有λ=4．
（1）求函數(shù)F（x）=[f（x）]²在[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]上的最值；
（2）在函數(shù)g（x）=$\frac{f（tanx）}{tanx}$圖象的所有切線中，是否存在切線l與直線m：（a+b）x-8$\sqrt{ab}$y+12=0（ab＞0）垂直？請(qǐng)說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=4x（1-x），求得單調(diào)區(qū)間，可得f（$\frac{1}{2}$）取得最大值1，f（$\frac{1}{4}$）或f（$\frac{3}{4}$）取得最小值$\frac{3}{4}$，即可得到所求最值；
（2）求得g（x）的解析式，求出定義域，求得導(dǎo)數(shù)，假設(shè)存在直線l，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，結(jié)合基本不等式，可得cos²x=1，得出矛盾，即可判斷不存在．

解答 解：（1）f（x）=4x（1-x），
f（x）在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]遞增，在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]遞減，
可得x=$\frac{1}{2}$時(shí)f（x）取得最大值1，x=$\frac{1}{4}$或x=$\frac{3}{4}$時(shí)，取得最小值$\frac{3}{4}$，
可得F（x）取得最大值1，最小值$\frac{9}{16}$；
（2）g（x）=$\frac{f（tanx）}{tanx}$=$\frac{4tanx（1-tanx）}{tanx}$=4（1-tanx），x≠kπ，且x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
g（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=-$\frac{4}{co{s}^{2}x}$，
假設(shè)存在切線l與直線m：（a+b）x-8$\sqrt{ab}$y+12=0（ab＞0）垂直．
則切線的斜率為k=-$\frac{8\sqrt{ab}}{a+b}$，
由a+b≥2$\sqrt{ab}$，可得k≥-4，
即有-$\frac{4}{co{s}^{2}x}$≥-4，即為cos²x≥1，
由cos²x≤1，可得cos²x=1，
解得x=kπ，k∈Z，這與），x≠kπ，k∈Z，矛盾．
故不存在切線l與直線m垂直．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及基本不等式的運(yùn)用和余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．