Question

4．若定義在R上的不恒為零的函數(shù)f（x）滿足：?x，y∈R都有f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y），則稱函數(shù)f（x）為“平方差函數(shù)”，下列命題：
（1）若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{0，x＜0}\end{array}\right.$，則f（x）為“平方差函數(shù)”；
（2）若f（x）=kx（k＞0），則f（x）為“平方差函數(shù)”；
（3）若f（x）為“平方差函數(shù)”，則f（x）為奇函數(shù)；
（4）若f（x）為“平方差函數(shù)”，則f（x）為增函數(shù)．
其中正確命題的序號(hào)是（2）（3）（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)平方差函數(shù)的定義分別進(jìn)行驗(yàn)證判斷即可．

解答 解：（1）若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{0，x＜0}\end{array}\right.$，
則當(dāng)x=2，y=1時(shí)，
則f²（x）-f²（y）=f²（2）-f²（1）=1-1=0，
f（x+y）f（x-y）=f（3）f（1）=1×1=1，
則f²（x）-f²（y）≠f（x+y）f（x-y），
則f（x）不是“平方差函數(shù)”；故（1）錯(cuò)誤，
（2）若f（x）=kx（k＞0），
則f²（x）-f²（y）=k²x²-k²y²=k²（x²-y²），
f（x+y）f（x-y）=k（x+y）•k（x-y）=k²（x²-y²），
滿足f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y），f（x）為“平方差函數(shù)”；故（2）正確，
（3）若f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y），
則令x=y=0，則f²（0）-f²（0）=f（0）f（0）=0，
則f（0）=0，
令x=0，則f²（0）-f²（y）=f（y）f（-y），
即-f²（y）=f（y）f（-y），
∵f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，
∴-f（y）=f（-y），
即函數(shù)f（-x）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)，
則若f（x）為“平方差函數(shù)”，則f（x）為奇函數(shù)正確，故（3）正確；
（4）若f（x）=-x，則f²（x）-f²（y）=x²-y²，f（x+y）f（x-y）=-（x+y）•[-（x-y）]=x²-y²，
滿足f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y），即f（x）為“平方差函數(shù)”，則f（x）此時(shí)為減函數(shù)，故（4）錯(cuò)誤．
故答案為：（2）（3）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，正確理解平方差函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．