Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=

x+ 1 x

([x]+1)([ 1 x ]+1)

，其中[x]表示不小于x的最小整數(shù)，如[2]=2，[0.3]=1，[2.3]=3．
（1）求f（π）的值，其中π為圓周率；
（2）若在區(qū)間（2，3]上存在x，使得f（x）≤k成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）分開化簡求值，（2）化簡函數(shù)表達(dá)式，求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，將恒成立問題化為最值問題；（3）分類討論函數(shù)的取值，再求并集．

解答： 解：（1）∵[π]=4，[

1

π

]=1，
∴f(π)=

π+ 1 π

(4+1)×(1+1)

=

π2+1

10π

．
（2）∵2＜x≤3，
∴[x]=3，[

1

x

]=1．
則f(x)=

x+ 1 x

(3+1)×(1+1)

=

1

8

(x+

1

x

)．
求導(dǎo)得，f′(x)=

1

8

(1-

1

x2

)，
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，顯然有f′（x）＞0，
則f（x）在區(qū)間（2，3]上遞增，
即可得f（x）在區(qū)間（2，3]上的值域?yàn)?span id="gzlivs1" class="MathJye">(

5

16

，

5

12

]，
在區(qū)間（2，3]上存在x，使得f（x）≤k成立，
則k≥

5

16

．
（3）∵f(x)=f(

1

x

)恒成立，且x＞0，不妨設(shè)x≥1．易知f(1)=

1+1

(1+1)×(1+1)

=

1

2

，
下面討論x＞1的情況．
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，[x]=2，[

1

x

]=1．
則f(x)=

1

6

(x+

1

x

)∈(

1

3

，

5

12

]=I1，
當(dāng)x∈（n，n+1]，n∈N⁺，n≥2時(shí)，[x]=n+1，[

1

x

]=1.f(x)=

1

2(n+2)

(x+

1

x

)
設(shè)g(x)=x+

1

x

，g′(x)=1-

1

x2

＞0，所以g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
故當(dāng)n≥2時(shí)，f(x)∈(

n2+1

2n(n+2)

，

(n+1)2+1

2(n+1)(n+2)

]=In，n∈N⁺，n≥2，
因此f（x）的值域?yàn)?span id="bu67fm2" class="MathJye">{

1

2

}∪I1∪I2∪I3∪…∪In∪…
記an=

n2+1

2n(n+2)

，bn=

(n+1)2+1

2(n+1)(n+2)

.an+1-an=

2n2-3

2n(n+1)(n+2)(n+3)

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1-a_n＞0，即a₂＜a₃＜…＜a_n＜…bn+1-bn=

n-1

2(n+1)(n+2)(n+3)

當(dāng)n≥2時(shí)，b_n+1-b_n＞0，即b₂＜b₃＜…＜b_n＜…
而an+1-bn=

1

2(n+3)

(n+1+

1

n+1

)-

1

2(n+2)

(n+1+

1

n+1

)＜0，
所以I_n∩I_n+1≠∅．
故f（x）的值域?yàn)?span id="7lygs1j" class="MathJye">{

1

2

}∪(a1，b1]∪(a2，b2]∪(a3，b3]∪…∪(an，bn]∪…

={ 1 2 }∪(a1，b1]∪(a2， lim n→∞ bn) ={ 1 2 }∪( 1 3 ， 5 12 ]∪( 5 16 ， 1 2 )

=(

5

16

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題重在將大問題分開化為小問題，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．