Question

已知函數(shù)f（x）=x+alnx（a∈R）．
（I）若a=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若a≤0，函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）求出a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）和導(dǎo)數(shù)，求得切點(diǎn)和切線的斜率，即可得到切線方程；
（II）討論當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，判斷也是最值，且與0的關(guān)系，即可判斷零點(diǎn)的情況．

解答： 解：（I）若a=-1時(shí)，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x

，
則切點(diǎn)為（1，1），切線的斜率為f′（1）=0，
故切線方程為y=1．
（II）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x在定義域（0，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)，滿足題意；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）與f′（x）=1-

a

x

在定義域上的情況如下表：

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

則f（-a）是函數(shù)f（x）的極小值，也是函數(shù)f（x）的最小值，
所以，當(dāng)f（-a）=a（ln（-a）-1）＞0，即a＞-e時(shí)，函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)-e＜a≤0時(shí)，f（x）沒(méi)有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，求極值，同時(shí)考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題與函數(shù)最小值的關(guān)系，屬于中檔題．