Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1，（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n+1+2a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求出所有使數(shù)列{a_n+1+λa_n}成等比數(shù)列的λ的值；
（Ⅲ）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）把已知的數(shù)列遞推式變形，得到a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1）（n≥2），由此證得數(shù)列{a_n+1+2a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n+1+λa_n}成等比數(shù)列，求出前3項，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，直接求出λ的值；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，得到方程組，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答： （Ⅰ）證明：由a_n+1=a_n+6a_n-1，得
a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1）（n≥2），
∵a₁=5，a₂=5，∴a₂+2a₁=15，
故數(shù)列{a_n+1+2a_n}是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*），
{a_n+1+λa_n}的前三項分別為5+5λ，35+5λ，65+35λ，
依題意得（7+λ）²=（1+λ）（13+7λ），
解得λ=-3或2．
當n=2時，{a_n+2a_n-1}是首項為15公比為3的等比數(shù)列，
當λ=-3時，{a_n-3a_n-1}是首項為-10，公比為-2的等比數(shù)列；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得a_n+1+2a_n=5•3ⁿ，由待定系數(shù)法可得（a_n+1-3ⁿ⁺¹）=-2（a_n-3ⁿ），
即a_n-3ⁿ=2（-2）^n-1，
故a_n=3ⁿ+2（-2）^n-1=3ⁿ-（-2）ⁿ．

點評：本題是中檔題，考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，考查計算能力，利用數(shù)列的前3項是等比數(shù)列建立方程是解題的關(guān)鍵．本題第三小題借用（Ⅰ）結(jié)論用解方程組的方法求出數(shù)列通項，設計巧妙，值得借鑒．