Question

設z為虛數(shù)，且z+

1

z

+1=0．
（1）求z；
（2）求z+z²+z³+…+z²⁰¹³的值；
（3）若復數(shù)z所對應的點在第二象限，w∈C，且1≤|w-4z|≤2，求|w|的范圍．

Answer 1

考點：復數(shù)求模,復數(shù)代數(shù)形式的混合運算

專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：（1）依題意，可得z²+z+1=0，從而可得z；
（2）依題意，可得z³=1，利用等比數(shù)列的求和公式即可求得z+z²+z³+…+z²⁰¹³的值；
（3）利用1≤|w-4z|≤2表示的幾何意義即可求得|w|的范圍．

解答： 解：（1）∵z+

1

z

+1=0，
∴z²+z+1=0，解得z=-

1

2

±

3

2

i；
（2）∵z=-

1

2

±

3

2

i，
∴z³=1，又z²⁰¹³=z^671×3=1，{zⁿ}為等比數(shù)列，
∴z+z²+z³+…+z²⁰¹³=

z(1-z2013)

1-z

=0；
（3）∵復數(shù)z所對應的點在第二象限，
∴z=-

1

2

+

3

2

i，又1≤|w-4z|≤2，
∴1≤|w-（-2+2

3

i）|≤2，w是以（-2，2

3

）為圓心，半徑分別為2與1的圓環(huán)，
∴4-2≤|w|≤4+2，即2≤|w|≤6．

點評：本題考查復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，考查等比數(shù)列的求和公式及復數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．