Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)是$F（{-\sqrt{2}\;，0}）$，上頂點(diǎn)是B，且|BF|=2．過(guò)點(diǎn)P（0，-1）的直線(xiàn)l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{PN}$，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$c=\sqrt{2}$，a=2．推出b²，即可求解橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）若直線(xiàn)l的斜率不存在，顯然不成立，若直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程是y=kx+1．與由橢圓聯(lián)立方程組，設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理以及$\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{PN}$，推出x₁=-3x₂，求出k，即可求解直線(xiàn)l的方程．

解答 （本小題13分）
解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓C的左焦點(diǎn)是${F_1}（{-\sqrt{2}\;，0}）$，且|B₁F₁|=2，
所以$c=\sqrt{2}$，a=2．
所以由a²=b²+c²，得b²=2．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）若直線(xiàn)l的斜率不存在，顯然不成立．…（5分）
若直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，所以直線(xiàn)l的方程是y=kx-1．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$消去y，得 （1+2k²）x²+4kx-2=0．
…（6分）
設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
所以${x_1}+{x_2}=\frac{-4k}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{-2}{{1+2{k^2}}}$．…（7分）
因?yàn)?\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{PN}$，
所以x₁=-3x₂．…（10分）
所以$-2{x_2}=\frac{-4k}{{1+2{k^2}}}$，$-3{x_2}^2=\frac{-2}{{1+2{k^2}}}$．
所以$-3•\frac{{4{k^2}}}{{{{（{1+2{k^2}}）}^2}}}=\frac{-2}{{1+2{k^2}}}$．
所以$\frac{12k}{{1+2{k^2}}}=2$．
所以$k=±\frac{1}{2}$．…（12分）
所以直線(xiàn)l的方程是x-2y+2=0，或x+2y-2=0．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．