Question

12．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且$\sqrt{3}a$=2csinA．
（1）求角C的大�。�
（2）若△ABC為銳角三角形，且c=2，且a+b=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得2sinCsinA=$\sqrt{3}$sinA，又sinA≠0，解得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合范圍C∈（0，π），即可求C的值．
（2）由余弦定理可得：4=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=9-3ab，解得ab=$\frac{5}{3}$，根據(jù)三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）∵由正弦定理可得2sinCsinA=$\sqrt{3}$sinA，sinA≠0，即有sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由C∈（0，π），則C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
（2）∵△ABC為銳角三角形，
∴C=$\frac{π}{3}$，c=2，且a+b=3，
∴由余弦定理可得：4=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=9-3ab，解得：ab=$\frac{5}{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$$\frac{5}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．