Question

4．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（x-1）（a＞0，且a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的判斷；
（3）當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，若函數(shù)f（x）的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可下結(jié)論；
（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得出f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$，討論a的取值范圍，然后單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷和證明；
（3）在（2）的結(jié)論下利用函數(shù)的單調(diào)性求解．

解答 解：（1）由f（x）=log_a（x+1）-log_a（x-1）有意義得：
    $\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，
解得：x＞1．
∴f（x）=log_a（x+1）-log_a（x-1）的定義域?yàn)椋?，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∴f（x）=log_a（x+1）-log_a（x-1）為非奇非偶函數(shù)．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
證明如下：
設(shè)x₁，x₂是（1，+∞）上任意兩個(gè)數(shù)，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=log_a$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}$-log_a$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}-1}$=log_a$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}•\frac{{x}_{2}-1}{{x}_{2}+1}$=log_a$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}+{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}-{x}_{2}-1}$．
∵1＜x1＜x2
∴-x₁+x₂＞x₁-x₂
∴$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}+{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}-{x}_{2}-1}＞1$
①當(dāng)a＞1時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），f（x）為減函數(shù)．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），f（x）為增函數(shù)．
綜上所述：當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）為增函數(shù)．
（3）由（2）知，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在[2，3]單調(diào)遞減，
∴f_min（x）=f（3）=1，即log_a4-log_a2=1，解得a=2；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在[2，3]上是單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（2）=1，即log_a3-log_a1=1，解得a=3（舍）．
∴a=2

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，屬于中檔題．