Question

20．設函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），若對任意的x₁，x₂∈（-1，1），均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|，則稱函數(shù)f（x）具有性質“L”，給出下面三個定義在（-1，1）上的函數(shù)：①f₁（x）=$\frac{1}{1+x}$；②f₂（x）=ln（x+1）；③f₃（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，其中具有性質“L”的函數(shù)的個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 直接舉例說明①②不具有性質“L”；對于③，把，|f（x₁）-f（x₂）|分子有理化后放縮說明具有性質“L”．

解答 解：對于：①f₁（x）=$\frac{1}{1+x}$，取${x}_{1}=-1+\frac{1}{10}，{x}_{2}=-1+\frac{1}{100}$，
則|f（x₁）-f（x₂）|=|$\frac{1}{1-1+\frac{1}{10}}-\frac{1}{1-1+\frac{1}{100}}$|=90＞2|-1+$\frac{1}{10}+1-\frac{1}{100}$|=$\frac{9}{100}$，則①不具有性質“L”；
對于：②f₂（x）=ln（x+1），取${x}_{1}=-1+\frac{1}{e}，{x}_{2}=-1+\frac{1}{{e}^{3}}$，
則|f（x₁）-f（x₂）|=|$ln\frac{1}{e}-ln\frac{1}{{e}^{3}}$|=2＞2|$-1+\frac{1}{e}+1-\frac{1}{{e}^{3}}$|=2|$\frac{1}{e}-\frac{1}{{e}^{3}}$|，則②不具有性質“L”；
對于：③f₃（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，|f（x₁）-f（x₂）|=$|\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}|$=$\frac{|{x}_{1}+{x}_{2}|}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}|{x}_{1}-{x}_{2}|＜2|{x}_{1}-{x}_{2}|$，
故③具有性質“L”．
∴具有性質“L”的函數(shù)的個數(shù)為1．
故選：B．

點評 本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數(shù)的性質，訓練了放縮法證明函數(shù)不等式，是中檔題．