Question

4．函數(shù)f（x）$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{4}x+x-3（x＞0）}\\{x-（\frac{1}{4}）^{x}+3（x≤0）}\end{array}\right.$若f（x）的兩個零點分別為x₁，x₂，則|x₁-x₂|=3．

Answer 1

分析 作出函數(shù)y=log₄x和y=3-x的圖象交點A，作出y=（$\frac{1}{4}$）^x與y=x+3的交點B，y=4^x與y=3-x的交點C，根據(jù)A，B，C之間的對稱關(guān)系得出x₁，x₂的關(guān)系．

解答 解：當x＞0時，令f（x）=0得log₄x=3-x，
作出函數(shù)y=log₄x和y=3-x的函數(shù)圖象，設(shè)交點為A（x₁，y₁），
當x＜0時，令f（x）=0得（$\frac{1}{4}$）^x=x+3，
作出函數(shù)y=（$\frac{1}{4}$）^x和y=x+3的函數(shù)圖象，設(shè)交點為B（x₂，y₂），
顯然x₁＞x₂．
作函數(shù)y=4^x的函數(shù)圖象，與y=3-x的圖象交于C（x₀，y₀）點．
∵y=（$\frac{1}{4}$）^x與y=4^x的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，y=x+3與y=3-x的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴B，C關(guān)于y軸對稱，∴x₀=-x₂，y₀=y₂，
∵y=4^x與y=log₄x互為反函數(shù)，
∴y=4^x與y=log₄x的函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱，又y=3-x關(guān)于y=x對稱，
∴A，C關(guān)于直線y=x對稱．∴x₀=y₁，y₀=x₁．
∴x₂=-y₁，
∴|x₁-x₂|=x₁-x₂=x₁+y₁，
又A（x₁，y₁）在直線y=3-x上，∴x₁+y₁=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了函數(shù)基本初等函數(shù)的圖象，函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．