【題目】設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù),求證:函數(shù)的極大值小于1.
【答案】(1)見解析;(2)(3)見證明
【解析】
(1)先對函數(shù)求導(dǎo),分別討論和,即可得出結(jié)果;
(2)先將函數(shù)在時(shí)恒成立,轉(zhuǎn)化為在上恒成立,再設(shè),,利用導(dǎo)數(shù)方法求出的最大值,即可得出結(jié)果;
(3)先由題意得到,對求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性,即可求出其極大值,得出結(jié)論.
解:(1)由于,,
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),由得,由得;
所以在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增.
(2)若在上恒成立,
只需,.
令,,則,
由得,所以
,隨的變化情況如下:
1 | |||
+ | 0 | - | |
極大值 |
所以,所以.
(3)由題知,,
令,,
則函數(shù)在上單調(diào)遞減,,,
所以存在唯一的,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,
其中,所以函數(shù)有極大值.
函數(shù)的極大值是,由,得,
所以,因?yàn)?/span>,所以,即,
所以的極大值小于1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校位同學(xué)的數(shù)學(xué)與英語成績?nèi)缦卤硭荆?/span>
學(xué)號 | ||||||||||
數(shù)學(xué)成績 | ||||||||||
英語成績 | ||||||||||
學(xué)號 | ||||||||||
數(shù)學(xué)成績 | ||||||||||
英語成績 |
將這位同學(xué)的兩科成績繪制成散點(diǎn)圖如下:
(1)根據(jù)該校以往的經(jīng)驗(yàn),數(shù)學(xué)成績與英語成績線性相關(guān).已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?/span>,英語平均成績?yōu)?/span>.考試結(jié)束后學(xué)校經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)號為的同學(xué)與學(xué)號為的同學(xué)(分別對應(yīng)散點(diǎn)圖中的、)在英語考試中作弊,故將兩位同學(xué)的兩科成績?nèi)∠,取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績后,求其余同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與英語成績的平均數(shù);
(2)取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績后,求數(shù)學(xué)成績與英語成績的線性回歸方程,并據(jù)此估計(jì)本次英語考試學(xué)號為的同學(xué)如果沒有作弊的英語成績(結(jié)果保留整數(shù)).
附:位同學(xué)的兩科成績的參考數(shù)據(jù):,.
參考公式:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為,且直線是其圖象的一條對稱軸.
(1)求,的值;
(2)在圖中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象;
(3)將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變),再把得到的圖象向左平移個(gè)單位,得到的圖象,求單調(diào)減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1) 試說明函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的;
(2)若函數(shù),試判斷函數(shù)的奇偶性,并用反證法證明函數(shù)的最小正周期是;
(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知復(fù)數(shù)z=,(m∈R,i是虛數(shù)單位).
(1)若z是純虛數(shù),求m的值;
(2)設(shè)是z的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)+2z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,D是AC的中點(diǎn),四邊形BDEF是菱形,平面平面ABC,,,.
若點(diǎn)M是線段BF的中點(diǎn),證明:平面AMC;
求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,SA=SB=SC=SD,點(diǎn)E,M,N分別是BC,CD,SC的中點(diǎn),點(diǎn)P是MN上的一點(diǎn).
(1)證明:EP∥平面SBD;
(2)求四棱錐S﹣ABCD的表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,離心率,點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn),線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn),求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍;
(3)在第(2)問的條件下,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面幾種推理是演繹推理的個(gè)數(shù)是( )
①兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)。如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角,那么∠A+∠B=180°;
②猜想數(shù)列1,3,5,7,9,11,…的通項(xiàng)公式為;
③由正三角形的性質(zhì)得出正四面體的性質(zhì);
④半徑為的圓的面積,則單位圓的面積.
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
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