Question

7．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點N，M分別是BD，B₁C的點．
（1）若點N，M分別是BD，B₁C的中點，求證：MN∥AA₁B₁B；
（2）若$\frac{{B}_{1}M}{MC}$=$\frac{BN}{ND}$=$\frac{1}{2}$，則上述結(jié)論還成立嗎？若成立請給出證明．

Answer 1

分析 （1）連接AC，AB₁，利用三角形的中位線定理證明MN∥AB₁，即可證明MN∥平面ABB₁A₁；
（2）結(jié)論仍成立，過點M作MP∥B₁B，交BC于點P，連接NP，證明平面MNP∥平面ABB₁A₁，即可證明MN∥平面ABB₁A₁．．

解答 證明：（1）如圖1，
連接AC，AB₁，
∵ABCD是正方形，N是BD中點，
∴N是AC中點，
又∵M是CB₁中點，
∴MN∥AB₁，
∵MN?平面ABB₁A₁，AB₁?平面ABB₁A₁，
∴MN∥平面ABB₁A₁；
（2）結(jié)論仍成立，證明如下；
如圖2，

過點M作MP∥B₁B，交BC于點P，連接NP，
∵MP∥B₁B，∴$\frac{{B}_{1}M}{MC}$=$\frac{BP}{PC}$，
又$\frac{{B}_{1}M}{MC}$=$\frac{BN}{ND}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{BN}{ND}$=$\frac{BP}{PC}$，∴NP∥DC，
又AB∥CD，∴NP∥AB；
由MP∥B₁B，MP?平面ABB₁A₁，B₁B?平面ABB₁A₁，∴MP∥平面ABB₁A₁，
同理，NP∥平面ABB₁A₁，
又MP?平面MNP，MP?平面MNP，
∴平面MNP∥平面ABB₁A₁，
又MN?平面MNP，
∴MN∥平面ABB₁A₁．

點評 本題考查了線線平行、線面平行和面面平行的判定與性質(zhì)定理的應(yīng)用問題，是中檔題目．