Question

8．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若棱BB₁=BC=1，AB=$\sqrt{3}$，則AD₁與BC所成角等于45°，CD₁與AB所成角等于30°，CD₁與A₁D所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由BC∥AD，知∠DAD₁是異面直線AD₁與BC所成角，由此能求出AD₁與BC所成角；由AB∥CD，得∠DCD₁是CD₁與AB所成角，由此能求出CD₁與AB所成角；由CD₁∥A₁B，知∠DA₁B是CD₁與A₁D所成角，由此能求出CD₁與A₁D所成角的余弦值．

解答 解：∵BC∥AD，∴∠DAD₁是異面直線AD₁與BC所成角，
∵棱BB₁=BC=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴∠DAD₁=45°，
∴AD₁與BC所成角等于45°；
∵AB∥CD，∴∠DCD₁是CD₁與AB所成角，
∵BB₁=BC=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴cos∠DCD₁=$\frac{DC}{{D}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠DCD₁=30°，
∴CD₁與AB所成角等于30°；
∵CD₁∥A₁B，∴∠DA₁B是CD₁與A₁D所成角，
∵A₁D=$\sqrt{2}$，A₁B=2，BD=2，
∴cos∠DA₁B=$\frac{2+4-4}{2×\sqrt{2}×2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴CD₁與A₁D所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：45°，30°，$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)產(chǎn)．