Question

3．已知函數(shù)f（x）=2^x-2^-x，數(shù)列{a_n}滿足f（log₂a_n）=-2n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}中的最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合f（log₂a_n）=-2n得到數(shù)列遞推式，整理后求解關(guān)于a_n的一元二次方程得答案；
（2）直接利用作商法證明數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為最大項(xiàng)．

解答 解：f（log₂a_n）=${2}^{lo{g}_{2}{a}_{n}}$-${2}^{-lo{g}_{2}{a}_{n}}$=${a}_{n}-\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴${a}_{n}-\frac{1}{{a}_{n}}$=-2n，
∴${a}_{n}^{2}+2n{a}_{n}-1=0$
解得a_n=-n±$\sqrt{{n}^{2}+1}$，
∵a_n＞0，
a_n=$\sqrt{{n}^{2}+1}-n$，n∈N^*；
（2）$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{\sqrt{（n+1）^{2}}-（n+1）}{\sqrt{{n}^{2}+1}-n}$，
=$\frac{\sqrt{{n}^{2}+1}+n}{\sqrt{（n+1）^{2}+1}+（n+1）}$＜1，
∴數(shù)列{a_n}中最大的項(xiàng)為首項(xiàng)，${a}_{1}=\sqrt{2}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用作商法證明數(shù)列是遞減數(shù)列，是中檔題．